Một bài toán do nhà toán học Ronald Graham đặt ra từ năm 1971 vừa được hoàn thiện lời giải sau hơn nửa thế kỷ. Người góp phần khép lại khoảng trống cuối cùng là giáo sư toán học người Việt Phạm Tuấn Huy cùng nhà toán học người Đức Lisa Sauermann.
Có những câu hỏi toán học nhìn qua tưởng như rất đơn giản nhưng lại khiến nhiều thế hệ nhà nghiên cứu phải tìm lời giải. Bài toán do Ronald Graham đặt ra năm 1971 là một trường hợp như vậy.
Vấn đề xoay quanh việc sắp xếp một tập hợp các số nguyên khác nhau, không chứa số 0. Câu hỏi đặt ra là liệu có thể lựa chọn một thứ tự sao cho tổng của hai số đầu tiên, rồi ba số đầu tiên, bốn số đầu tiên và tiếp tục như vậy luôn cho những kết quả khác nhau hay không.
Nếu toàn bộ các số đều dương, bài toán tương đối dễ hình dung bởi tổng các phần tử tăng dần. Nhưng khi xét những tập hợp số nguyên hữu hạn, tình huống trở nên phức tạp hơn nhiều. Các tổng có thể quay trở lại những giá trị đã xuất hiện trước đó, tạo ra những trường hợp trùng lặp khó kiểm soát.
Graham - người từng giữ chức Chủ tịch Hội Toán học Mỹ - dự đoán rằng cách sắp xếp như vậy luôn tồn tại. Đáng chú ý, ông cũng là một người yêu thích và thành thạo nghệ thuật tung hứng. Chính mối liên hệ này khiến bài toán đôi khi được liên tưởng với việc sắp xếp thời điểm các vật thể rơi xuống sao cho không có hai vật cùng chạm đất một lúc. Trong nhiều thập kỷ, giới toán học từng bước xử lý các trường hợp khác nhau của bài toán Graham.
Theo Quanta Magazine, năm 2022, Alp Müyesser và Alexey Pokrovskiy giải quyết trường hợp những tập hợp có kích thước rất lớn. Đến năm 2024, Noah Kravitz và Benjamin Bedert xử lý trường hợp tập hợp rất nhỏ, sau đó tiếp tục mở rộng kết quả cùng các cộng sự vào tháng 8/2025.
Tuy nhiên, giữa hai kết quả này vẫn còn một khoảng trống đáng kể: những tập hợp có kích thước trung bình. Đây chính là phần khó mà các phương pháp trước đó chưa thể xử lý trọn vẹn.
Chân dung nhà toán học Phạm Tuấn Huy.
Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann đã tập trung vào khoảng trống này và đưa ra lời giải hoàn thiện cho bài toán.
Hai nhà toán học vốn biết nhau từ năm 2015 tại Stanford, khi một người đang là nghiên cứu sinh còn người kia là sinh viên đại học.
Đến tháng 9/2025, cả hai cùng tham dự một hội nghị ở Đức và nghe hai bài trình bày về bài toán Graham. Sau khi trao đổi, Huy quyết định ở lại Bonn thêm 3 ngày. Trong khoảng thời gian ngắn này, hai người bắt đầu xây dựng hướng tiếp cận nhằm xử lý phần còn bỏ ngỏ.
Lời giải dựa trên xác suất và phân tích Fourier
Cách tiếp cận của Huy và Sauermann bắt đầu bằng việc xáo trộn các phần tử trong tập hợp một cách ngẫu nhiên. Sau đó, hai nhà toán học xây dựng một quy trình để xử lý những trường hợp phát sinh tổng bằng 0. Khi gặp một đoạn số có vấn đề, họ thay đổi phần tử cuối của đoạn đó bằng một giá trị khác.
Thách thức lớn nhất nằm ở việc chứng minh quy trình sửa lỗi này không thất bại hoàn toàn. Có tới ba dạng sự cố khác nhau có thể xuất hiện trong quá trình thực hiện. Để kiểm soát các khả năng này, nhóm nghiên cứu sử dụng những công cụ toán học chuyên sâu, trong đó có kỹ thuật chống tập trung và phân tích Fourier - phương pháp cho phép phân tích các hàm thành những thành phần dạng sóng đơn giản hơn.
Kết quả cho thấy với cách lựa chọn ngẫu nhiên phù hợp, không có tổng nào có xác suất xuất hiện vượt trội một cách đáng kể. Từ đó, các tác giả chứng minh xác suất xảy ra đồng thời những dạng lỗi cần tránh luôn nhỏ hơn 1. Nói cách khác, phải tồn tại ít nhất một cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện mà Graham đặt ra.
Bài báo của hai nhà toán học dài 27 trang và được đăng trên arXiv vào tháng 2/2026, qua đó hoàn thiện phần cuối cùng của bài toán tồn tại từ năm 1971.
Nhà toán học Ronald Graham cũng là một người tung hứng điêu luyện (Ảnh: Peter Vidor/Quanta Magazine)
Nhà toán học Noah Kravitz cho biết nhóm của ông từng biết đến hướng tiếp cận này nhưng chưa đủ tự tin để thử. Trong khi đó, Alp Müyesser nhận xét phương pháp của Huy và Sauermann có sự khác biệt đáng kể so với những cách giải trước đó.
Dù vậy, lời giải vẫn có giới hạn về phạm vi áp dụng. Theo cách diễn giải của Quanta Magazine, kết quả hiện áp dụng cho các số nguyên tố đủ lớn, ở quy mô có thể hình dung tới khoảng 10^100. Vì thế, nếu biến bài toán thành một màn trình diễn tung hứng thực tế thì quy mô sẽ vượt xa khả năng tổ chức thông thường.
Để đi đến vị trí hiện tại, Phạm Tuấn Huy đã có một hành trình đáng chú ý trong lĩnh vực toán học. Sinh năm 1996, anh bắt đầu được biết đến từ Trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia TP.HCM. Huy từng hai lần giành Huy chương Vàng Olympic Toán quốc tế, vào các năm 2013 và 2014. Sau đó, anh sang Mỹ theo học tại Đại học Stanford. Tại đây, Huy tốt nghiệp cử nhân Toán với thành tích danh dự, đồng thời học thêm Khoa học máy tính và hoàn thành chương trình thạc sĩ Thống kê.
Trong thời gian ở Stanford, anh 4 năm liên tiếp lọt vào nhóm 80 thí sinh có thành tích cao nhất tại Putnam - một trong những cuộc thi toán dành cho sinh viên đại học có mức độ cạnh tranh cao tại Bắc Mỹ.
Năm 2018, luận văn danh dự của Huy được trao giải Kennedy dành cho luận văn xuất sắc trong lĩnh vực khoa học tự nhiên của Stanford.
Sau Stanford, anh tiếp tục tới Đại học Cambridge và hoàn thành bằng thạc sĩ Toán với thành tích xuất sắc. Năm 2019, Huy đứng đầu kỳ thi Part III của Tripos Toán và nhận giải thưởng dành cho sinh viên có thành tích nổi bật trong lĩnh vực Toán thuần túy.
Anh sau đó trở lại Stanford để làm tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của giáo sư Jacob Fox và hoàn thành chương trình vào năm 2023. Cũng trong năm 2023, Phạm Tuấn Huy được Viện Toán học Clay lựa chọn làm nghiên cứu viên trong chương trình kéo dài 5 năm, từ tháng 7/2023 đến năm 2028. Anh là người Việt thứ hai nhận học bổng này, sau Giáo sư Ngô Bảo Châu, người được trao học bổng vào năm 2004.
Trước công trình mới nhất, Phạm Tuấn Huy đã có nhiều kết quả nghiên cứu được giới toán học chú ý. Năm 2024, anh cùng Jinyoung Park công bố chứng minh giả thuyết Kahn - Kalai trên Journal of the American Mathematical Society.
Cũng trong năm này, anh nhận giải Dénes Kőnig và giải Frontiers of Science của ICBS. Đến năm 2026, Huy tiếp tục nhận học bổng Sloan và giải NSF CAREER.
Theo chia sẻ trên trang cá nhân, vào mùa thu năm nay anh dự kiến tới Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton để tiếp tục công việc nghiên cứu.
Điều đặc biệt trong câu chuyện của bài toán Graham nằm ở chỗ câu hỏi ban đầu chỉ cần vài dòng để phát biểu, nhưng lời giải lại đòi hỏi hơn 55 năm cùng nhiều thế hệ nhà toán học. Từng phần của bài toán được tháo gỡ theo thời gian, từ những tập hợp rất nhỏ đến những tập hợp cực lớn. Phần còn lại ở quy mô trung bình trở thành nút thắt cuối cùng và được Phạm Tuấn Huy cùng Lisa Sauermann giải quyết.
Fan Chung, vợ của Ronald Graham, cho rằng ông sẽ rất vui nếu biết câu hỏi được đặt ra từ năm 1971 cuối cùng đã có lời giải hoàn chỉnh.
Với Phạm Tuấn Huy, công trình này tiếp tục nối dài hành trình nghiên cứu của một nhà toán học Việt Nam đang làm việc tại Mỹ. Từ những huy chương Olympic thời học sinh đến những bài toán tồn tại hàng nửa thế kỷ, con đường của anh cho thấy một câu hỏi toán học có thể mất nhiều thập niên để đi đến đáp án - và đôi khi, mảnh ghép cuối cùng lại đến từ một thế hệ nhà nghiên cứu hoàn toàn mới.
